נולד בשנת 1929 בדוגאלישוק, כפר יהודי חקלאי (כיום בבלרוס), להוריו משה-דוד ושרה-מינה ליפקונסקי. האב, בן למשפחת חקלאים, היה נפח במקצועו, והאם הייתה בת למשפחת רבנים מאיישישוק שבליטא. אברהם למד בישיבה הקטנה ברדון הסמוכה.
בסוף 1941 נשלחו יהודי דוגאלישוק לגטו רדון. אביו של אברהם עבד כמסגר מחוץ לגטו. ב-10 במאי 1942 נלקחו אברהם, אמו ואחיו, עם תושבי הגטו, אל בור המוות ליד בית הקברות ברדון, שם נרצחו בירי רוב תושבי הגטו, ובהם אמו של אברהם ואחיו הצעיר יקותיאל. אברהם הצליח להימלט עם אחיו הבכור פנחס שהיה בקבוצת העבודה שחפרה את בור המוות. שניהם חזרו לגטו רדון וכעבור יומיים נמלטו אל היער הסמוך. ביער מצא אותם אביהם שנמלט קודם לכן בהתקוממות כשהובל לחפור את בור המוות עם קבוצת יהודים. במשך כמה חודשים הסתתרו השלושה ביער ובבור באדמה. בדצמבר 1942 יצאו אברהם ואחיו פנחס לפגוש פרטיזנים בכפרם דוגאלישוק ונקלעו למארב של גרמנים. בהיתקלות נהרג פנחס.
אברהם ואביו מצאו מסתור במחבוא שהכין למענם איכר פולני באסם בחוותו. באביב 1943 עזבו השניים את בית האיכר. האב שב ליער וביוני 1943, ערב חג השבועות, רצחו אותו פולנים. אברהם הצטרף לפרטיזנים היהודים ביערות נצ'ה-גרודנו ונלחם בשורותיהם עד שחרור האזור ביולי 1944.
לאחר השחרור שב אברהם לרדון והלך לכפר הולדתו דוגאלישוק. הוא איתר את מקום קבורתו של אחיו הגדול פנחס והביאו לקבורה ליד בור המוות בבית הקברות ברדון. לאחר מכן נסע לאיטליה ושהה ב"בית הילדים" בסלבינו, מוסד של עליית הנוער שניהל משה זעירי, חייל הבריגדה היהודית. ביולי 1946 עלה אברהם על אניית המעפילים "כתריאל יפה", אך הבריטים תפסו אותה, ונוסעיה נשלחו למחנות מעצר בקפריסין. עוד באותה שנה שוחרר אברהם מהמחנה. הוא הגיע ארצה ושהה בהכשרה של עליית הנוער בקיבוץ משמר השרון.
בשנת 1948 התגייס אברהם לגדוד השישי של הפלמ"ח ולחם במלחמת העצמאות, בקרבות בדרך לירושלים. לאחר המלחמה התיישב בקיבוץ צאלים ולימים עבר לתל אביב, שם עבד בתעשייה הצבאית ולמד כלכלה וניהול משק. הוא ניהל את המרכז לקורסים ולסמינרים בסמינר אפעל, עבד בהוצאות ספרים והקים חברה להפצת ספרים, "בית עלים", הקיימת עד היום.
אברהם העיד במשפט אייכמן ובעדותו גולל את פרשת חיסול יהודי רדון. הוא פרסם שני ספרים על קורותיו בתקופת השואה והשחרור: כפר ושמו דוגאלישוק והחופש והבדידות. אברהם מדבר לפני קהלים מגוונים ומספר על קורותיו בשואה. עדותו צולמה בפרויקט "עדים וחינוך" המשותף ליד ושם ולמרכז למולטימדיה באוניברסיטה העברית.
בסלבינו פגש אברהם את איילה, גם היא ניצולת שואה. בקפריסין העמיקו את היכרותם ולאחר שהגיעו לארץ ישראל נישאו. לאברהם ולאיילה שלושה ילדים ותשעה נכדים.